HIPÉRBOLES

DEFINICION

Dados dos puntos \({F_1}\) y \({F_2}\) llamados focos, se denomina hipérbola al conjunto de puntos del plano tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a los focos es constante. 

Ecuación canónica de la hipérbola

Con una deducción similar a la de la elipse, se obtiene:

  \[\;\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]

Es la ecuación canónica de la hipérbola con centro en \(\left( {0,0} \right)\) y eje focal \(y = 0\) (eje \(x\))

Busquemos las intersecciones con los ejes:

\[y = 0\; \Rightarrow \;\left| x \right| = a \Rightarrow \;x = \pm a\; \Rightarrow {V_{1,2}} = \left( { \pm a,0} \right)\]

\[x = 0\;\; \Rightarrow {y^2} = – {b^2}\]

Entonces no corta al eje \(y\).

Los puntos \({V_{1,2}}\) se denominan vértices de la hipérbola.

Elementos de la hipérbola

\[\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} – \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\]

Focos: \({F_1}\left( {c,0} \right)\) y \({F_2}\left( { – c,0} \right)\)

Centro: \(C\;\left( {0,0} \right)\)

Vértices: \({V_1}\left( {a,0} \right)\) y \({V_2}\left( { – a,0} \right)\;\)

Eje focal: recta que contiene a los focos, en este caso es el eje \(x\)

a se denomina semieje real o transverso

b se denomina semieje imaginario

2c es la distancia entre los focos

Se cumple que \({c^2} = {a^2} + {b^2}\)

En la hipérbola aparece un elemento nuevo que no tiene ninguna de las otras cónicas: las asíntotas.

Ecuaciones de las asíntotas: \(y\; = \; \pm \frac{b}{a}\;\;x\)

CITA
https://aga.frba.utn.edu.ar/hiperbola/